潘昭宏1，丘駿飛2、林清旭1

1正修科技大學工業工程與管理系
833高雄縣鳥松鄉澄清路840號
E-mail:horng@csu.edu.tw

2元智大學財務金融學系
320桃園縣中壢市遠東路135號

摘要：本研究利用6/49大樂透已開獎資料的各號碼間隔期數之以下累加相對次數分配表，將0~1之間的均等分配亂數轉換成各號碼的間隔期數亂數，再尋找與各號碼間隔期數排序相同的下一個間隔期數亂數之眾數，做為各號碼下一次出現的間隔期數之預測值。並以不同期數資料所求得之預測值與實際值作比較，分析該模擬方法的誤差大小與變異程度。

關鍵字：6/49大樂透、隨機、模擬、誤差。

1. 前言

公益彩券發行至今，不僅成功帶動民眾購買風潮，同時也逐漸取代傳統的地下簽賭活動，如：六合彩、大家樂等非法賭博性活動，成功斷絕此一地下經濟衍生之社會問題根源，另則增加國庫收入，並提供殘障人士就業機會。其中的6/42樂透彩，由於可以由購買者自選號碼，也可以由電腦代為選號，有自主性，也有方便性，再加上高額獎金，曾引發一陣風潮。當新鮮感失去後，台北銀行為再度引起購買熱潮，復於民國93年1月3日增發6/49大樂透（黃文璋，民94）。
6/49大樂透發行至今已滿三年，三年來不但在國內掀起民眾購買熱潮，同時也造就許多令人稱羨的億萬富翁。每逢6/49大樂透連續好幾期頭獎槓龜時，各家投注站民眾瘋狂投注的場景就不斷上演--民眾爭相搶購，風靡程度令人嘆為觀止，更有許多民眾不惜金錢包牌投注，期望藉由包牌的投注方式增加中獎的機率。一些腦筋動得快的投注站為吸引大批顧客上門，便自行發展各種不同的預測方法與計算公式（如：坊間常見的「聰明包牌」、「立柱連碰」），以供民眾做為投注時的依據。此外，網路也充斥各種明牌的計算方法，如：拖牌、推牌、公式牌、姐妹牌等等，真是無奇不有。而且，如果遇到特殊節日或事件，各式各樣的推測更是層出不窮，如：地震牌、生日牌等(吳信宏，民94)。民眾之所以會利用各種令人匪夷所思的方法來預測6/49大樂透的開獎號碼，主要原因在於民眾對6/49大樂透每期開獎號碼有跡可循的觀念深信不疑，認為樂透並不隨機或雖為隨機，但仍可找到一個理想的固定模式來推算樂透的未來開獎號碼。
對於樂透開獎號碼是否隨機？這個議題在國內已有許多學者做過相關的研究，例如：黃文璋、洪宛頻與羅夢娜（民91）、黃文璋與洪宛頻(民92)、陳文泰（民92）、潘文超(民92）、陳昱誠、李哲毅與陳俊傑（民92）、吳信宏(民94)、李安倫、林盈君、洪瑩瓔與陳億鴻（民95）等學者曾分別針對6/42樂透彩或6/49大樂透的隨機性做過相關的研究。但不論是就6/42樂透彩，或是6/49大樂透開獎號碼的歷史資料所進行的隨機性檢定，皆無足夠證據可以拒絕樂透開獎號碼不符合隨機。
至於隨機的樂透是否可以利用固定的模式推算？關於此議題，國內學者潘昭宏與林清旭（民96）曾以牛頓插値法為例，說明以固定模式推算隨機6/49大樂透可能產生的謬誤。該研究指出，隨機的6/49大樂透，各號碼的出現期數不存在固定的實際函數，或可視實際函數的冪次 ，所以，以固定模式去推算各號碼的出現期數，誤差會很大，甚至於還會出現不合理的現象。因此，隨機的樂透開獎號碼應該利用「模擬」(simulation)的方法進行分析。
由於樂透已開獎資料的各號碼出現期數不存在封閉型態的累積分配函數，無法直接進行模擬，因此，本研究將透過已開獎資料的各號碼出現間隔期數之模擬，間接完成樂透已開獎資料的各號碼出現期數之模擬。
  本文共分四節，除前言外，第二節為6/49大樂透開獎號碼的模擬，將利用逆轉換法（inverse transformation method；ITM）的概念，進行已開獎資料的各號碼間隔期數之模擬，並進而預測各號碼下一次出現的間隔期數；第三節為模擬結果的誤差探討，將以模擬所得之預測值與實際值作比較，分析該模擬方法的誤差大小與變異程度；第四節為結論，將說明研究結果的論點與模擬須注意之事項。
2. 6/49大樂透開獎號碼的模擬

本研究所提出的模擬方法是先將6/49大樂透開獎號碼的資料，整理成各號碼的出現間隔期數資料，然後編製各號碼的出現間隔期數之以下累加相對次數分配表，並以此為基礎，將0~1之間的均等分配亂數轉換成各號碼的出現間隔期數亂數，然後再從這些間隔期數亂數中，尋找與各號碼排序相同的間隔期數亂數，並以這些排序相同的間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為各號碼下一次出現的間隔期數預測值，然後以此間隔期數預測值加上各號碼最後一次出現的期數，即為各號碼下一次的出現期數預測值，以下以1號球為例說明之(其他號碼球作法相同)，其實施步驟如下：
步驟一：將出現期數資料轉成間隔期數資料 首先，利用6/49大樂透已開出的前312期(93年1月5日至95年12月28日，共3年)開獎資料，整理出1號球的出現間隔期數資料，如表1所示，其中， 代表第 次出現1號球， =1,2,…, ， 代表第 次出現1號球的期數，例如 ，代表1號球第1次出現在第12期，其餘類推。 代表第 次與第 次出現1號球的間隔期數，其值等於 。以第一個間隔期數 為例，由於1號球第1次出現在第12期，第2次出現在第17期，因此，第1次與第2次出現的間隔期數為5(=17-12)，其餘類推。

表1. 1號球第 次出現的期數與間隔期數

1號球
 

 

 

1 12 5 16 108 2 31 238 10
2 17 4 17 110 13 32 248 2
3 21 9 18 123 1 33 250 6
4 30 4 19 124 3 34 256 2
5 34 7 20 127 2 35 258 1
6 41 2 21 129 8 36 259 4
7 43 1 22 137 2 37 263 5
8 44 14 23 139 2 38 268 14
9 58 1 24 141 2 39 282 1
10 59 17 25 143 16 40 283 6
11 76 5 26 159 23 41 289 4
12 81 6 27 182 25 42 293 9
13 87 16 28 207 8 43 302 10
14 103 4 29 215 21 44 312 
15 107 1 30 236 2   

步驟二：利用間隔期數資料編製間隔期數之以下累加相對次數分配表 其次，利用上表的間隔期數資料( )，推導出1號球的出現間隔期數之以下累加相對次數分配表（見表2）。該表係以表1中所有的間隔期數為基礎，將間隔期數由小至大排列並統計其出現次數，未出現的間隔期數之次數以「0」補之；表2中的相對次數，其值等於次數除以總次數，以間隔期數1為例，因為前後總共出現6次，而總次數有43次，故其相對次數為0.139534884 (=6÷43)；至於以下累加相對次數，其值為小於或等於i的rfi相加，亦即CRFi=rf1+rf2+…+rfi，以間隔期數2為例，其以下累加相對次數(CRF2)為0.348837209 (=rf1+rf2=0.139534884+0.209302325)，其餘類推。

表2. 1號球的出現間隔期數之以下累加相對次數分配表

間隔期數
（i） 次數
（fi） 相對次數
（rfi） 以下累加相對次數
（CRFi）
1 6 0.139534884 0.139534884
2 9 0.209302325 0.348837209
3 1 0.023255814 0.372093023
4 5 0.116279070 0.488372093
5 3 0.069767442 0.558139535
6 3 0.069767442 0.627906977
7 1 0.023255814 0.651162791
8 2 0.046511628 0.697674419
9 2 0.046511628 0.744186047
10 2 0.046511628 0.790697674
11 0 0 0.790697674
12 0 0 0.790697674
13 1 0.023255814 0.813953488
14 2 0.046511628 0.860465116
15 0 0 0.860465116
16 2 0.046511628 0.906976744
17 1 0.023255814 0.930232558
18 0 0 0.930232558
19 0 0 0.930232558
20 0 0 0.930232558
21 1 0.023255814 0.953488372
22 0 0 0.953488372
23 1 0.023255814 0.976744186
24 0 0 0.976744186
25 1 0.023255814 1
合計 43 1 

步驟三：利用間隔期數之以下累加相對次數分配表將0~1之間的均等分配亂數轉成間隔期數亂數 在此步驟，研究者須利用表2的出現間隔期數之以下累加相對次數分配表，將亂數產生器所產生的0~1之間的均等分配亂數，轉成1號球的出現間隔期數亂數 (見表3)。以表3的第1個亂數0.548549為例，由於其值介於1號球的CRF4(=0.488372093)與CRF5(=0.558139535)之間 (見表2) ，因此，該亂數對應的1號球間隔期數為5，其餘類推。

表3. 1號球的出現間隔期數之亂數表

0~1之間的均等分配亂數 1號球
間隔期數 0~1之間的均等分配亂數 1號球
間隔期數 0~1之間的均等分配亂數 1號球
間隔期數
0.548549 5 0.030030 1 0.761128 10
0.734855 9 0.180670 2 0.263845 2
0.534560 5 0.809748 13 0.596123 6
0.478256 4 0.087497 1 0.186951 2
0.728823 9 0.353150 3 0.083549 1
0.459517 4 0.254625 2 0.427819 4
0.647064 7 0.670502 8 0.531164 5
0.259316 2 0.339254 2 0.827584 14
0.066042 1 0.155257 2 0.087763 1
0.824427 14 0.223365 2 0.564912 6
0.057222 1 0.889717 16 0.476421 4
0.917702 17 0.968953 23 0.729963 9
0.563778 5 0.989298 25 0.779246 10
0.643005 6 0.671557 8 0.894968 16
0.861538 16 0.945789 21 0.605129 6
0.449019 4 0.176348 2 0.453967 4

步驟四：從間隔期數亂數中尋找排序與間隔期數資料相同的間隔期數亂數並取其下一個間隔期數亂數之眾數做為下一次出現的間隔期數之預測值 在此步驟，研究者須從表3的1號球之間隔期數亂數中，尋找與表1的43個間隔期數排序相同的間隔期數亂數，亦即尋找排序為5、4、9、4、7、2、1、14、1、17、5、6、16、4、1、2、13、1、3、2、8、2、2、2、16、23、25、8、21、2、10、2、6、2、1、4、5、14、1、6、4、9、10的間隔期數亂數。由於這種排序的間隔期數亂數不只一組，因此，比較理想的作法是多模擬幾組排序相同的出現間隔期數亂數，然後取這些間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為該號碼球下一次出現的間隔期數之預測值。例如：這種排序的間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數為16，則以16做為1號球下一次出現的間隔期數預測值，亦即預測1號球將間隔16期才會再度出現。
步驟五：以上一步驟所得之眾數加最後一次出現之期數做為下一次出現的期數預測值 就本例而言，由於1號球在樣本期間最後一次出現在第312期(見表1)，故可推估1號球第45次將出現在第328(=312+16)期。
利用同樣的方法，可以模擬出跟其他號碼排序相同的出現間隔期數亂數，以進行其他號碼的出現間隔期數預測與出現期數預測。惟此模擬所需之亂數個數非常龐大，為避免不同時點使用亂數產生器產生的亂數可能有部分重疊，因此，在0~1均等分配的亂數產生階段中，最好一次產生很多的亂數。此外，各號碼的以下累加相對次數分配表也要每期更新，以提高模擬之可靠度。

3. 模擬結果的誤差探討

上一節的模擬方法是利用已開出的1號球前 個間隔期數的資料為母體，去進行1號球的出現間隔期數歷史資料模擬，並以排序與前 個間隔期數相同的間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為1號球第 +1個間隔期數的預測值。以下將針對此模擬方法所求得之預測值與實際值做比較，以探討其間的誤差大小與變異程度。
  首先利用表1的出現間隔期數資料（ ），分別製作1號球前1個、前2個、…、前43個出現間隔期數之以下累加相對次數分配表(作法與表2相同)，然後利用這些分配表將0~1之間的均等分配亂數，轉換為1號球的間隔期數亂數，如表4所示。

表4. 利用1號球前 個間隔期數資料轉換後的間隔期數亂數表

0~1均等分配亂數 利用1號球前1個、前2個、…、前43個間隔期數資料轉換後的間隔期數亂數
 1
個 2
個 3
個 4
個 5
個 6
個 7
個 8
個 9
個 35
個 36
個 37
個 38
個 39
個 40
個 41
個 42
個 43
個
0.396130 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 3 3 4 3 3 4 4 4
0.662648 5 5 5 5 7 5 5 6 5 8 7 7 8 7 7 7 7 8
0.053224 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.734306 5 5 9 5 7 7 7 6 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9
0.362682 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3
0.272805 5 4 4 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.226295 5 4 4 4 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.604846 5 5 5 5 7 5 5 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6
0.380535 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 3 3 2 3 3 3 4
0.934416 5 5 9 9 9 9 9 13 14 21 21 21 21 21 21 21 21 21
0.285623 5 4 4 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.726249 5 5 9 5 7 7 7 6 7 9 9 8 9 9 9 8 9 9
0.823328 5 5 9 9 9 7 7 8 9 14 14 14 14 14 14 14 14 14
0.069887 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.833399 5 5 9 9 9 9 7 8 9 16 16 14 14 14 14 14 14 14
0.182989 5 4 4 4 4 4 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.264229 5 4 4 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.979675 5 5 9 9 9 9 9 13 14 25 25 25 25 25 25 25 25 25
0.408521 5 4 5 4 5 4 4 3 4 3 3 4 4 3 4 4 4 4
0.796442 5 5 9 9 7 7 7 8 9 13 13 13 14 14 13 13 13 13
0.362529 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3
0.015717 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.366558 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3
0.788507 5 5 9 9 7 7 7 8 9 13 13 13 13 13 13 13 13 10
0.382031 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 3 3 2 3 3 4 4
0.675344 5 5 9 5 7 7 5 6 7 8 8 7 8 8 8 7 8 8
0.118076 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.688375 5 5 9 5 7 7 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8
0.181829 5 4 4 4 4 4 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.888882 5 5 9 9 9 9 9 13 9 17 16 16 16 16 16 16 16 16
0.304788 5 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.648549 5 5 5 5 7 5 5 6 5 7 7 6 7 7 6 6 7 7
0.734855 5 5 9 5 7 7 7 6 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9
0.538560 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5
0.478256 5 4 5 4 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0.708823 5 5 9 5 7 7 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9
0.459517 5 4 5 4 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0.657064 5 5 5 5 7 5 5 6 5 7 7 7 7 7 7 6 7 8
0.259316 5 4 4 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.066042 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.794427 5 5 9 9 7 7 7 8 9 13 13 13 14 13 13 13 13 13
0.057222 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.897702 5 5 9 9 9 9 9 13 14 17 17 17 17 17 16 16 16 16
0.573778 5 5 5 5 5 5 5 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6
0.623005 5 5 5 5 7 5 5 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6
0.861538 5 5 9 9 9 9 9 8 9 16 16 16 16 16 16 16 16 16
0.449019 5 4 5 4 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
0.030030 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.180670 5 4 4 4 4 4 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.749748 5 5 9 5 7 7 7 6 7 10 9 9 10 10 9 9 9 10
0.087497 5 4 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.403150 5 4 5 4 5 4 4 3 4 3 3 3 4 3 4 4 4 4
0.354625 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3
0.680502 5 5 9 5 7 7 5 6 7 8 8 8 8 8 8 7 8 8
0.349254 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3
0.152257 5 4 4 4 4 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2
0.223365 5 4 4 4 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.839717 5 5 9 9 9 9 7 8 9 16 16 16 14 14 14 14 14 14
0.928953 5 5 9 9 9 9 9 13 14 21 21 21 21 21 21 21 21 17
0.965789 5 5 9 9 9 9 9 13 14 23 23 23 23 23 23 23 23 23
0.325663 5 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0.681539 5 5 9 5 7 7 5 6 7 8 8 8 8 8 8 7 8 8
0.797113 5 5 9 9 7 7 7 8 9 13 13 13 14 14 13 13 13 13
0.357158 5 4 5 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3

表4的第一行數據是介於0與1之間的均等分配亂數，這些亂數藉由前1個間隔期數之以下累加相對次數分配表所轉換的1號球間隔期數亂數為第二行數據（亦即欄位名稱為「1個」的那一欄數據），而藉由前2個間隔期數之以下累加相對次數分配表所轉換的1號球間隔期數亂數則為第三行數據（亦即欄位名稱為「2個」的那一欄數據），其餘類推。至於模擬的方法與上一節相同，係以排序與前 個間隔期數相同的間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為1號球第 +1個間隔期數的預測值。例如：以「前2個」間隔期數資料預測第3個間隔期數，必須在表4中欄位名稱為「2個」的那一欄數據中，尋找排序為5、4的下一個數據，共20次(請參見表4中有作記號的儲存格)，然後取這20個數據的眾數5，做為第3個間隔期數的預測值，其餘類推。
將這些模擬所得之預測值與實際値做比較，計算之間的誤差，以及誤差的平均數、標準差（如表5所示），可據以評估本研究所提出之模擬方法所得結果之良窳。

表5. 誤差分析表

S


S

1 5 4 1 1 --- 1 1 ---
2 5 9 -4 -1.5 3.536 4 2.5 2.121
3 4 4 0 -1 2.646 0 1.667 2.082
4 4 7 -3 -1.5 2.380 3 2 1.826
5 9 2 7 0.2 4.324 7 3 2.739
6 7 1 6 1.167 4.535 6 3.5 2.739
7 5 14 -9 -0.286 5.648 9 4.286 3.251
8 2 1 1 -0.125 5.249 1 3.875 3.227
9 9 17 -8 -1 5.568 8 4.333 3.317
10 4 5 -1 -1 5.249 1 4 3.300
11 5 6 -1 -1 4.980 1 3.727 3.259
12 9 16 -7 -1.5 5.054 7 4 3.247
13 4 4 0 -1.385 4.857 0 3.692 3.301
14 2 1 1 -1.214 4.710 1 3.5 3.252
15 2 2 0 -1.133 4.549 0 3.267 3.262
16 9 13 -4 -1.313 4.453 4 3.313 3.156
17 1 1 0 -1.235 4.323 0 3.118 3.160
18 5 3 2 -1.056 4.263 2 3.056 3.077
19 4 2 2 -0.895 4.202 2 3 3
20 6 8 -2 -0.95 4.097 2 2.95 2.929
21 4 2 2 -0.810 4.045 2 2.905 2.862
22 2 2 0 -0.773 3.951 0 2.773 2.861
23 1 2 -1 -0.783 3.861 1 2.696 2.819
24 14 16 -2 -0.833 3.784 2 2.667 2.761
25 16 23 -7 -1.08 3.904 7 2.84 2.838
26 17 25 -8 -1.346 4.059 8 3.038 2.959
27 8 8 0 -1.30 3.989 0 2.926 2.960
28 14 21 -7 -1.5 4.060 7 3.071 3.005
29 3 2 1 -1.414 4.014 1 3 2.976
30 9 10 -1 -1.4 3.944 1 2.933 2.947
31 2 2 0 -1.355 3.886 0 2.839 2.945
32 7 6 1 -1.281 3.846 1 2.781 2.915
33 5 2 3 -1.152 3.858 3 2.788 2.870
34 3 1 2 -1.059 3.837 2 2.765 2.829
35 8 4 4 -0.914 3.876 4 2.8 2.795
36 6 5 1 -0.861 3.833 1 2.75 2.771
37 13 14 -1 -0.865 3.780 1 2.703 2.747
38 1 1 0 -0.842 3.731 0 2.632 2.745
39 9 6 3 -0.744 3.733 3 2.641 2.710
40 7 4 3 -0.65 3.732 3 2.65 2.675
41 8 9 -1 -0.659 3.685 1 2.610 2.654
42 10 10 0 -0.643 3.641 0 2.548 2.652
43 16 15 1 -0.605 3.606 1 2.512 2.631
註：表中數字若無法整除者，一律採用四捨五入法取到小數點第三位。

表5的各符號定義依序如下：
：代表模擬所使用的間隔期數個數，例如： =1，代表僅用第1個間隔期數進行模擬； =2，代表僅用前2個間隔期數進行模擬，其餘類推。
：代表以「前 個」間隔期數模擬第 +1個間隔期數所得之預測值（forecast），例如： 為5，代表僅用第1個間隔期數進行模擬所得之第2個間隔期數預測值為5； 為5，代表僅用前2個間隔期數進行模擬所得之第3個間隔期數預測值亦為5。
：代表實際值（real value），亦即第 +1個間隔期數的實際間隔期數。 例如： 為4，代表第2個實際間隔期數為4； 為9，代表第3個實際間隔期數為9。
：代表以「前 個」間隔期數模擬第 +1個間隔期數的模擬方法所產生的誤差，其值等於 - 。例如：僅用第1個間隔期數進行模擬所產生的誤差 等於1（=5-4），僅用前2個間隔期數進行模擬所產生的誤差 等於-4（=5-9）。  
：代表以「前 個」間隔期數模擬第 +1個間隔期數的模擬方法所產生的平均誤差，其值等於 。例如：前2次誤差的平均數 為-1.5（= ），前3次誤差的平均數 為-1（= ）。
S ：代表以「前 個」間隔期數模擬第 +1個間隔期數的模擬方法所產生的誤差標準差，其值等於 ，例如：前2次誤差的標準差S 為3.536（= ），前3次誤差的標準差S 為2.646（= ）。
：代表絕對誤差，亦即誤差 取絕對值。
：代表絕對誤差的平均數，其值等於 。例如：前2次絕對誤差的平均數 為2.5（= ），前3次絕對誤差的平均數 為1.667（= ）。
S ：代表絕對誤差的標準差，其值等於 ，例如：前2次絕對誤差的標準差S 為2.121（= ） ，前3次絕對誤差的標準差S 為2.082（= ）。
由表5可以發現，誤差平均數隨 的增加，慢慢向零收歛；另外，誤差與絕對誤差的標準差，也都有隨 增加而逐漸收斂的現象。

4. 結論

由上一節的誤差探討可以發現，利用前 個間隔期數資料模擬第 個間隔期數的模擬方法，亦即以各號碼已開出的前 個間隔期數資料為母體，去進行各號碼的出現間隔期數歷史資料模擬，並以排序與前 個間隔期數相同的間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為各號碼的第 個間隔期數之預測值的模擬方法，其預測值與實際值的誤差平均數會隨 的增加，慢慢向零收歛；另外，誤差與絕對誤差的標準差，隨 的增加，也有逐漸收斂的現象。因此，本研究所發展出來的這套模擬方法應該是一種相當不錯的方法。惟實際之模擬應該取自母體分配，只因母體分配不可得，所以採變通方式，以每期更新的樣本資料形成的機率分配來替代，亦即以每期更新的各號碼之間隔期數次數分配表，編製各號碼的間隔期數之以下累加相對次數分配表，並以各號碼的間隔期數之以下累加相對次數分配表，將0~1之間的均等分配亂數分別轉換成各號碼的間隔期數亂數。為增加資料更新的速度，使樣本資料形成的機率分配更接近母體分配，可以權宜利用每期更新的各號碼之間隔期數次數分配表的合併資料，編製一個各號碼共用的間隔期數之以下累加相對次數分配表，並以此次數分配表將0~1之間的均等分配亂數轉換成各號碼的間隔期數亂數。
利用各號碼的間隔期數模擬，推估各號碼的出現期數，在只推估某一個號碼時，比較理想的作法是多模擬幾個與歷史資料相同的間隔期數亂數，然後取這些間隔期數亂數的下一個間隔期數亂數之眾數，做為該號碼下一次出現的間隔期數之預測值。這種模擬方法所需的亂數資料非常龐大，所以若要實際推估某一期的開獎號碼，實務的作法可以考慮利用各號碼模擬出來合乎條件的第一個預測值做為該號碼下一次出現的間隔期數之預測值即可，然後利用這些間隔期數之預測值分別加上各號碼最近一次的出現期數，就可得到各號碼下一次應出現之期數。
另外，利用前述模擬方法推估出的號碼，在同一期中（譬如第 期）若超過6個，須按各號碼已出現之總次數來決定應留下哪幾個號碼，原則上，已出現之總次數較低的號碼應優先選取；如果已出現之總次數一樣，則輔以最近一期的間隔期數作判斷，最近一期的間隔期數較大者應優先選取。如果同一期中不足6個，譬如只有4個，則4個全取，另由出現期數為 的號碼中，依前面選取方式再取2個。
最後值得注意的是：在0~1均等分配的亂數產生階段中，最好一次產生足夠多的亂數，如果發現所取的亂數不足，之前所取的亂數宜全數捨去不用，然後重新產生亂數，而不要將前後所取之亂數予以合併使用。

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