弦論？玄論？

近代物理理論的兩大支柱是廣義相對論與量子力學，

但是要找一個同時符合兩者的理論卻十分困難，

弦論雖是一個未經實驗證實且正在發展中的理論，

它的特別之處，在於它同時包含這兩個原理，

且是現今唯一有可能可以解釋所有物理現象的理論。

弦論除了可以解釋已知的四種作用力，

甚至可能可以解釋為什麼我們的空間是三維的••••

雖然這些理想離我們還很遙遠，

但弦論已提供我們一個機會，

一窺物理理論最深刻的奧妙。

台大物理系賀培銘

物理營演講

2001/02/07

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目錄（不可能的任務）：

1.已經知道什麼？

2.弦論是什麼？

3.弦的故事

4.老師，有問題！

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1.已經知道什麼？

A.粒子物理

B.量子力學

C.相對論

D.標準模型

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A. 粒子物理(particle physics)：

基本粒子：

例：

原子 = 電子 + 原子核

原子核 = 質子 + 中子

質子，中子 = 夸克以不同的方式組成

其中只有電子與夸克被認為是基本粒子。

基本粒子不但說明了物質的組成，也解釋了物質之間的交互作用。

例如：

電子與電子間之電磁作用力，可以解釋為電子間交換光子所造成的效果。

宇宙中已知物理現象的規則，原則上可以化約成描述基本粒子的物理定律。因此，研究最基本的物理定律的領域，一般被稱作「粒子物理」。
 

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高能物理(high energy physics)：

根據海森堡的測不準原理，要探測更小尺度範圍內的現象，需要更大的能量。因此，我們需要建造更大的粒子對撞機或加速器來研究更基本的物理定律（天文觀測是另一可能）；而研究最基本物理定律的領域，也被稱作「高能物理」。

測不準原理：

D X D P ≧/ 2

D X = 對一粒子位置座標測量之誤差

D P = 對一粒子動量測量之誤差

= 普朗克常數（約10-34 Js）

想要DX小，DP就一定很大，而P也就很大。動量要大時，能量也要大。

在量子力學中，這是物質的基本性質，而不是實驗技術的不足所造成的結果。

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我們知道什麼？

內容：（標準模型 + 重力）

1. 已知基本粒子：

輕子：(e, ne)，(m , n m )，(t , n t ) + 反粒子

夸克：[(u, d)，(c, s)，(t, b)] ?(green, red, blue) + 反粒子

作用力粒子：g , (W+, W-, Z), g, [重力子]

純量波色子： H (?)

2. 已知基本作用力：

電磁，弱作用，強作用，[重力] （其實還有Yukawa 耦合。）

基礎：（數學架構）

量子力學 + 相對論

為近代物理之理論架構的兩大支柱。

量子力學 + 狹義相對論 ---> 量子場論

標準模型的基礎 = 量子場論

（標準模型不描述重力。）

如何融合量子力學與廣義相對論為近代理論物理最主要的問題之一。

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B. 量子力學(quantum mechanics)：
量子力學的主要精神：（與相對論一樣）
可以被測量的東西才必須可以被精確地指定。

（這是物質的基本性質，而不是實驗技術的不足所造成的結果。）

例：粒子的位置與動量不能同時被測量，不需要可以同時被精確地指定。（測不準原理） 

下面的解釋是錯的 ：

測量電子的位置時，想像用一個光子去照射它，因為光子的大小一定要比波長大，而根據量子力學波長與動量成反比，因此，想要精確地測量電子的位置時，必須要用動量很大的光子，而當我們用光子照射電子時，就會改變電子的動量，使我們不能同時精確地測量電子的動量。

費曼：沒人了解量子力學。

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C.相對論(relativity)：
狹義相對論(special relativity)：
1. 慣性座標系(inertial reference frame)：

不受力時，靜者恆靜，動者恆以等速直線運動

2. 相對運動中的系統對同一時間間隔的測量

結果可以不同。

3. 有一個共同的速度（光速）? 不同。

4. E = mC2

廣義相對論(general relativity)：

何謂受力？自由墜落的電梯是慣性座標系？

局部慣性座標系(R)流形(manifold)

重力 = 時空的彎曲（黎曼幾何riemannian geometry）

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量子力學加廣義相對論的嚴重後果：

1. 廣義相對論：

[質量(R)重力] ? [能量、動量(R)時空的彎曲]

2. 量子力學測不準原理：

D X D P ≧/ 2

3. 想要DX小，DP就一定很大。

D P大時，時空的彎曲程度誤差大。

故 DX無法真得很小。  

估計在普朗克(Planck)尺度（約10-33 cm）以下，一般幾何概念已不適用於時空的描述。

---> 非交換幾何？

例：

空間是無限小的點的集合？

但無法使DX = 0 ?

無限小的點只是數學上的想像。

（愛因斯坦曰不可說。）

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D. 標準模型(standard model)：

是現在普遍被接受描述基本粒子的理論。

其數學架構，是所謂的量子場論(quantum field theory)。

量子場論 = 量子力學 + 場的概念

場的概念是量子力學加上狹義相對論之後所必需。

數學上可能的量子場論模型有無限多個，但自然界選擇了標準模型。

高能物理的研究，大致可分為兩類。一類是「現象學」，一類是「場論」。前者是以標準模型為基礎，研究實驗結果與模型間的關係。後者是研究場論的一般性質，並不侷限在描述自然現象的模型中。

（當然，這兩者之間並沒有清楚的界線。）

類比：

牛頓力學中：F = m a

理想彈簧 F = k x，靜電力 F = Q E(x)
 

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標準模型不能回答的問題： 

1.為何有這四種力？

2.為何有這些粒子？

3.為何這些粒子的質量、電荷等是如此大小？

4.如何描述重力的量子現象？

5.為何時空是四維的？

6.時空到底是什麼？

弦論要回答這些問題 -->

統一物理理論的內容與其數學基礎，

統一所有作用力。

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2.弦論（string theory）是什麼？：

 
A. 弦論的出發點

B. 弦論的優點

C. 期待
 

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A. 弦論的出發點：

也許基本粒子其實是條線。

或許是一個線段，稱作「開弦」（open string）。

或是一個迴圈，稱作「閉弦」（closed string）。

弦的不同振動態 ---> 不同的粒子。

E = mC2 ===> 振動能量 ---> 粒子質量。
 

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B. 弦論的優點：（萬有理論應具備的條件）

1. 唯一性：

如果宇宙萬物都要永遠遵守同一個物理定律，這個物理定律應該是獨特的，而不是任意的。

所有已知的弦論都是等價的。

數學上自洽的模型只有一個。

一個萬有理論（Theory of Everything, TOE）必須是唯一的，否則它就不是萬有的，因為它不能解釋它為何是這樣而不是那樣。

萬有理論中應該沒有任何自由參數。

標準模型中的參數可能是：

1.被理論唯一決定。

2.被初始條件與演化方程決定。

（與宇宙學有關。）

2. 自洽性：

量子場論的計算中，總是出現一些無限大的量。

表示量子場論不是最基本的理論，

而是（低能）等效理論。

例：凝態理論，介子重子理論

重整化：從無限大的量中找到有限值的方法。

無限大的原因：假設粒子是不具大小的點。

例：

點電荷之靜電位能 = (Q^2/r) (R)¥ (r(R)0)

弦論中沒有這種無限大的問題。

3. 包含量子重力學(quantum gravity)：

弦論自動地包含了量子重力場。

（愛因斯坦的廣義相對論，是重力作用的古典理論，其量子化是理論物理裡最主要的問題之一。）

如果以量子場論為架構來描述重力，計算中將出現一些無限大，無法用重整化的方法解決。

相反地，一旦假設了弦的存在，便不可避免地在理論上導致了重力作用。

原因：弦總是有一個振動態對應到重力子的性質。

愛因斯坦的廣義相對論已經可以從弦論中被推導出來。（弦論的最重要“預測”）

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C. 期待：（萬有理論應有的其他特質）

1.有優美的哲學思想為基礎：

例：廣義相對論? Mach's principle。

弦論？ 還在找。
有一些計算規則，但還沒有完全了解所有對稱性。

2.可以解釋所有已知現象：

如果它是對的…. 但還不會算。
（只解釋了為何有廣義相對論、規範場論…）

弦論是一個還在被研究發展的理論，我們對它的瞭解還不足以讓我們可以計算出電子的質量及電荷等等。所以，弦論還不是一個完整的理論，當然也沒有被實驗證實。

可以算的很多，但還不夠多。

已知實驗和理論的尺度與普朗克尺度差1016倍！

‘弦論是二十一世紀的物理意外地掉進二十世紀。’

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3. 弦的故事：

1. 早期：

（1960年代）最早被提出時是要描述強作用力。
（當時夸克模型與量子色動力學(QCD)還未被證實。）

例：

介子是夸克與反夸克因強作用力組成的，但在早期的弦論中被描述為一根開弦；弦的兩端即對應到夸克與反夸克，而弦本身則對應到強作用力在兩者之間形成的拉力。

量子色動力學被證實後，弦論的第一次革命之前，有一段時間弦論被大多數的物理學家所遺棄。

2. 第一次革命：（1974年）

可能是統一所有已知交互作用與物質的理論。

這個大膽的猜想的基礎，主要是根據一項理論上的重大進展，亦即物理學家發現弦論中自動包含了重力理論，而且可以有數學上自洽的量子化。

弦論的第一次革命吸引了許多物理學家投入其研究工作。可惜的是，不多久所有可以解決的問題都被解決了，剩下許多技術上無法克服的問題，似乎過於複雜艱澀，不知如何下手。慢慢地，許多物理學家就又離開了此一領域，直到弦論的第二次革命。 

超對稱（supersymmetry）：

最早的弦論是波色(bosonic)弦論，時空為26維，
但有技術問題，且無費米子(fermion)。（可能不自洽。）

已知自洽的弦論為超弦理論（superstring），
即具有超對稱性的理論，包含波色子及費米子。

3.第二次革命：（1994年）

第二次革命指的是弦論的一些觀念上及技術上的躍進。

對其他物理及數學的領域產生了重要的影響。
（Witten得過數學界的最高榮譽Fields Medal。）

對偶性：

兩個看似不相同的理論，實際上是等價的。
（兩個理論對所有可以測量的值都有相等的預測）

一個理論中十分困難的問題，可能等價於其對偶理論中一個簡單的問題。

M理論：

過去有五種不同的弦論。這些看似不同的弦論，其實互為對偶。換句話說，我們只有一個理論，但它有五種不同的表示方法。這個唯一的理論，現在被稱為M理論。
M = mistery、mother或membrane。

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4. 老師，有問題！

1. 為何是一維的弦？

2.弦是用什麼組成的？

弦論中還有其他維數的物體?孤立子。

它的發現是造成第二次革命中對偶性的研究可以突飛猛進的原因之一。

孤立子最早是在水中被發現。

（Russel, 1834）跟隨一個渠道中的孤立子行進數英里，而孤立子仍幾乎保持不變。

場論中，基本粒子的某些特殊集體振動形式也會形成孤立子。

孤立子夠小時，看起來也像一個粒子，

但是弦論中有許多種不同的孤立子，各有不同的維數。

雖然在一個理論中基本粒子和孤立子角色不同，但是某一理論中的孤立子可能對應到其對偶理論的基本粒子，而基本粒子卻對應到孤立子。因此，弦論中一維物體的獨特角色被淡化了，各種不同維數的物體地位平等地存在於弦論之中。（弦論中基本元素是一維的這件事可能是一個技術問題。M理論的十一維描述中，基本元素是兩維的。）

M理論的一種描述方式(matrix model)：

時空中（包括時空本身）原來是一團混沌，

當接近某種狀態時，會近似於有某個維數的物體，存在於某種形狀的時空中。

3. 時空為何是四維的：

過去從未有過任何理論可以預測時空的維數。

弦論預測：時空的維數為十維！

雖然我們的經驗告訴我們時空只有四維，但理論物理學家已有許多方案可以解釋為何十維的時空看起來可以像是四維的。

可能一：多出的六維縮得很小，所以沒被觀測到。

可能二：我們活在一個四維的孤立子上。

可能三 ….

但另一方面，有另一個弦論的對偶理論，它的時空是十一維的。（這個理論也是M理論的一種表示方式。）這是因為時空的形狀及維度，要看我們如何定義其測量方法才有意義；不同理論中的時空定義不一定恰好相等。

4. 黑洞：（量子重力學有關問題）

弦論已計算出某些（特別簡單的）黑洞的亂度。

霍金（Hawking）早已預測黑洞亂度的公式，

但因缺乏一個量子重力理論，無法真的根據亂度的定義直接算出結果。

另一個量子重力理論應有的性質—全像原理（也與霍金的黑洞亂度公式有關），最近也在弦論中得到實現。

還有很多有關黑洞的問題，有待弦論解答。

如：information problem (? Hawking radiation)

量子力學與廣義相對論的對抗：

霍金等人（過去）--> 量子力學需修改

（愛因斯坦的影響）

弦論 --> 廣義相對論需修改

5. 時空是什麼？

有關於量子重力學的更基本也更有趣的問題。

時空所有的性質都可以從弦論中推導出來。

一些假想的情況中，時空的性質可以和我們的經驗大不相同。

大爆炸初期，時空的性質很可能的確非常不同。

根據量子力學，要探測小尺度時空內的現象，必然伴隨著大的能量不確定性，而根據廣義相對論，這會造成時空結構上大的不確定性。

經驗中平滑的、由無線多點構成的有關時空的概念，

不可能在接近普朗克尺度（約10-33 cm）時適用。

數學上一般的幾何概念對普朗克尺度下的時空並不適用。

數學上所謂的「非交換幾何」，是古典幾何的一種推廣，有可能可以用來描述普朗克尺度下的時空。

近來在弦論中已經發現一些假想情況中的時空的確可以用非交換幾何來描述。

例： xy - yx ? 0

6.研究弦論找得到工作嗎？

7.弦論對改善人類生活有貢獻嗎？

8.弦論何時會被證實？

In the next millennium (R) In this millennium !

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結論：

雖然弦論的研究至今不能告訴我們為何電子是如此重，或計算出任何當今技術可及之實驗結果，但是因為它要解決的問題是如此複雜困難（例如要了解為何宇宙中有這些物質和交互作用、為何時空是四維的等等），而且因為沒有其他任何一個理論在這個目標上的進展可與之比擬，弦論無疑地仍是值得繼續努力研究的方向。

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Book:

The elegant universe: B. Greene （優雅的宇宙，商務）

因為弦論的發展歷史很短，較早期的科普書中關於弦論的評價與較近期的書可能相當不同。
 
 

Web Sites:

Yahoo! Science > Physics > Theoretical Physics > Theories > String Theories

Official String Theory Web Site
http://www.superstringtheory.com/

M-theory, The Theory Formerly Known as Strings

The Second Superstring Revolution

String Theory - summary of the modern theory of superstrings.

String Theory and the Unification of Forces

Superstring Theory

Superstrings! - an online tutorial and learning resource for string theory.

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