神秘數字 142857——循環小數的運用
http://www.tglin.idv.tw/essay/essay_books09.htm
許久未曾脫離語言文字與歷史神話的主題了。上個月 TG 收到一封不知轉寄了多少遍的 e-mail，雖然一半的內容早在 TG 小學時代就曉得了，但另一半的內容直到這兩天才想通。以下先複述一下傳到我手頭上的郵件內容。為了其後的方便起見，裡頭的【主題某】字樣是 TG 另外加上去的︰ 世界上最神奇的數字：142857 【主題一】 看似平凡的數字，為什麼說他最神奇呢？我們把它從 1 乘到 6 看看：
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142 同樣的數字，只是調換了位置，反覆的出現。那麼把它乘與7是多少呢？我們會驚人的發現是 999999。 【主題二】 而
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99 【主題四】 最後，我們用
142857 x 142857 = 20408122449 取後六位數加上前剩餘的得數是多少呢？
20408 + 122449 =142857。 若前剩餘超出六位數以上再加一次....!!!!!! 關於其中神奇的解答「142857」，它發現於埃及金字塔內，它是一組神奇數字，它證明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6個數字，依順序輪值一次，到了第7天，它們就放假，由999999去代班，數字越加越大，每超過一星期輪迴，每個數字需要分身一次，你不需要計算機，只要知道它的分身方法，就可以知道繼續累加的答案，它還有更神奇的地方等待你去發掘！也許，它就是宇宙的密碼，如果您發現了它的真正神奇秘密…… 【主題三】
142857 × 1 ＝142857（原數字）
142857 × 2＝285714（輪值）
142857 × 3＝428571（輪值）
142857 × 4＝571428（輪值）
142857 × 5＝714285（輪值）
142857 × 6＝857142（輪值）
142857 × 7＝999999（放假由9代班）
142857 × 8＝1142856（7分身，即分為頭一個數字1與尾數6，數列內少了7）
142857 × 9＝1285713（4分身）
142857 × 10＝1428570（1分身）
142857 × 11＝1571427（8分身）
142857 × 12＝1714284（5分身）
142857 × 13＝1857141（2分身）
142857 × 14＝1999998（9也需要分身變大）
繼續算下去…… 以上各數的單數和都是「9」。有可能藏著一個大秘密。以上面的金字塔神秘數字舉例：
1＋4＋2＋8＋5＋7＝27＝2＋7＝9；您瞧瞧，它們的單數和竟然都是「9」。 依此類推，上面各個神秘數，它們的單數和都是「9」；怪也不怪！(它的雙數和 27 還是 3 的三次方) 無數巧合中必有概率，無數吻合中必有規律。 何謂規律？大自然規定的紀律！科學就是總結事實，從中找出規律。
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循環小數與分數
TG 的數學成績雖不是頂好，不過我一看到 142857 這組數字，立刻就回想到小時候課堂上的場景了。TG 先暫時拋開上面的轉寄 mail 內容，談談「循環小數」這東西。 在數論中，實數中的「有理數（rational number）」，是定義為可以化為「分數」的數。像是整數（1，2，3，……），可以視成以分母「1」的分數；「分數」則有像是這幾種「純分數」、「假分數」和「帶分數」的表示法。 「分數」有時候是可以化為有限位數的「小數」，如「1/2」就可以化為「0.5」。但有些分數卻無法化為有限小數（即等價於「分子除以分母」是「除不盡」的），像是「1/3」只能化為小數型態的「0.33333....」，小數點的「3」是寫不完的。不過，只要是「有理數」，也就是「分數」，即使是除不盡的無限小數，也一定能夠化為「循環小數」。比如像「1/3 = 0.33....」，我們就可以寫成「」，讀作「零點三、三循環」，代表這個小數有無窮盡的小數數字，不過這些數字全部都是「3」。 這麼一來，我們就可以試著算算看「以 7 為分母」的分數，轉化成「循環小數」的型式為何了︰ 我們明顯地發現到，以 7 為分母的前六個分數，當它們化為小數時，全都是六個數字的循環小數。 ＊ ＊ ＊
如果我們想作「反向運算」時，也就是拿到一個「循環小數」，要將它化成「分數」的作法。TG 小學時代，老師是要我們「背口訣」的；然而如果有中學生的代數運算能力，我們或許能更清楚地知道它的轉換脈絡。以「0.142857...」作例子，假設我們事先不曉得它的分數表示為何，則我們可以用代數的方式來計算︰
這也就是 TG 小學老師要求學生「背起來」的解法︰有幾個循環數字，就在分母上填上幾個 9。這麼一來，我們就可以回頭看看本文一開始所引述的文章，142857 的「神秘」究竟在什麼地方了。 附帶一提，循環小數中，有個十分特殊的「」（即 0.99999.....，零點九、九循環），其值是等於「1」的。TG 在此就不另作證明了。
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神秘數字 142857 的「分數／循環小數」解法
回到前面引述信件中的【主題一】，我們可以從循環小數的觀點，得到「1/7」到「6/7」的六個循環小數表示式，並把每個數字看作是「1/7」的整數倍數。比如像「2/7」，當然是「1/7」的兩倍。計算如下︰ 上頭每條計算式，其實就恰好就等同於【主題一】的「神秘算式」。只要這六個循環數字所構成的「區段」，在乘上某數之後沒有「進位」、且仍留在原來的區段之中，那麼原文【主題一】的計算，完全就等價於更令人一目瞭然的分數計算結果。（至於區段中的「進位」問題，則留到【主題三】再討論……） ＊ ＊ ＊
把分數和循環小數的等價關係，用到了【主題二】來看，我們可以看作以下的運算︰
我們已知分數和其循環小數的運算是等價的，而且又等於 1，因此上頭的算式是成立的。然後我們發現上面的直式運算中，以紅色區塊標出的，正是 142 + 857 = 999；以藍色區塊標出的，即為 857 + 142 = 999。也就是說，【主題二】只是 1/7 + 6/7 = 1 的另一種詮釋法罷了。 同樣地，【主題二】的後半部，即 14 + 28 + 57 = 99，則是三個分數相加︰1/7 + 2/7 + 4/7 = 7/7 = 1 的另一種等價表示。 ＊ ＊ ＊
前兩個主題都未涉及「區段進位」的情況，所以上述 TG 的證明是有些不夠嚴謹的。至於牽涉進位問題的【主題三】，TG 就得「認真一些」了。然而，只要能以分數的運算觀點來看，那麼【主題三】並不神奇。從「1/7」到「6/7」的討論正如前所述，TG 就不再重述。至於其後的情況，則可以用「帶分數」的角度來看。我們先算「乘以 8」的例子︰
這代表乘上 8 之後，其結果是將原來的循環數列加以編整，前頭補上「1」，後頭則是將原數列的尾數「減一」。同樣地，原數列「乘以 9」的情況同樣為︰ 也是同樣「前頭補 1、尾數減 1」的情況。其餘的推導過程，TG 不再繼續寫下去了。因此【主題三】的情況同樣可以用「分數」和「循環小數」之間的切換，得出應有的結果。 ＊ ＊ ＊
至於【主題四】的解析是比較困難的，TG 承認，我是從「反方向」給逆推回來的。
第一部分︰
第二部分︰
所以，我們從上面直式的計算之中，得到這一串十二位循環小數（0.020408122449...），在「錯位」之後相加（即上圖中的紅藍底色的區塊），就會重新回到產生它的原數字 142857。 ＊ ＊ ＊
至於以 7 為分母的循環小數，為何是 142857 這幾個數字在反覆輪流地出現，這也可以從分數的觀點來「配」出來的。2、3、4、5、6 這五個數字，恰好可以由 10n - 7 * m 這條式子中求得，當中的 m 為從左邊數起的某些連續數字。
2 = 100 - 98 = 102 - 7 * 14
3 = 10 - 7 = 101 - 7 * 1
4 = 10000 - 9996 = 104 - 7 * 1428
5 = 100000 - 99995 = 105 - 7 * 14285
6 = 1000 - 994 = 103 - 7 * 142 將以上各值放在以 7 為分母的分數之分子上，就可以看出這些分數一定都是按照 142857 順序的排整的循環小數。
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神秘的數字︰0588235294117647
仿照這種方法，TG 也同樣可以製造出另一組神秘的數字︰「0588235294117647」。 （惡搞文開始）
世界上最神奇的數字「0588235294117647」！！ 看似平凡的數字，為什麼說它最神奇呢？我們把它從 1 乘到 16 看看： 0588235294117647 x 1 = 0588235294117647
0588235294117647 x 2 = 1176470588235294
0588235294117647 x 3 = 1764705882352941
0588235294117647 x 4 = 2352941176470588
0588235294117647 x 5 = 2941176470588235
0588235294117647 x 6 = 3529411764705882
0588235294117647 x 7 = 4117647058823529
0588235294117647 x 8 = 4705882352941176
0588235294117647 x 9 = 5294117647058823
0588235294117647 x 10 = 5882352941176470
0588235294117647 x 11 = 6470588235294117
0588235294117647 x 12 = 7058823529411764
0588235294117647 x 13 = 7647058823529411
0588235294117647 x 14 = 8235294117647058
0588235294117647 x 15 = 8823529411764705
0588235294117647 x 16 = 9411764705882352 同樣的數字，只是調換了位置，以完全相同的次序，反覆地出現。那麼把它乘與 17 是多少呢？我們會驚人的發現是 9999999999999999。 關於其中神奇的解答「0588235294117647」，它發現於台灣新竹縣寶山鄉雙溪村某處所挖掘而出的金字塔，稱作「雙溪金字塔」內，它是一組神奇數字，它證明古代人曾有 17 天的計日週期，它自我累加一次，就由它的 16 個數字，按著完全相同的次序輪值一次，到了第 17 天，它們就放假，由 9999999999999999 去代班，數字越加越大，每超過一週期輪迴，每個數字需要分身一次，你不需要計算機，只要知道它的分身方法，就可以知道繼續累加的答案。它還有更神奇的地方等待你去發掘！也許，它就是宇宙的密碼，如果您發現了它的真正神奇秘密…… 0588235294117647 x 1 = 0588235294117647（原數字，第 1 日週期）
0588235294117647 x 2 = 1176470588235294（2 輪值，第 2 日週期）
0588235294117647 x 3 = 1764705882352941（3 輪值，第 3 日週期）
…………………………（中略）…………………………
0588235294117647 x 17 = 9999999999999999（放假由十六個 9 來代班）
0588235294117647 x 18 = 10588235294117646（1 的分身。即前頭補上數字 1，尾數從 7 改成了 6）
0588235294117647 x 19 = 11176470588235293（2 的分身。即前頭補上數字 1，尾數從 4 改成了 3）
0588235294117647 x 20 = 11764705882352940（3 的分身。即前頭補上數字 1，尾數從 1 改成了 0）
…………………………（中略）…………………………
0588235294117647 x 34 = 19999999999999998（17 的分身也要變大） 無數巧合中必有概率，無數吻合中必有規律。 據野雞大學的歷史系教授 TG（化名）的研究，距今八千五百多年前的「雙溪文明」以 17 天作為一個月份的週期，一年有 21 到 22 個月份。「雙溪曆法」完全靠著一年有幾個月份的規則，就能讓一個平均太陽月的日子吻合了「365.24199 日」，這是世界文化的奇蹟！ 何謂規律？古代「雙溪金字塔」中所開示的大自然紀律！科學就是總結事實，從中找出規律。 由「雙溪金字塔」所得到的奧妙遠不及此，還有許多精巧的安排與計算之後，都能不約而同地得出最完滿的數字「9」。請大家每日照三餐為「雙溪神秘數字︰0588235294117647」而膜拜，您一定能獲得無上之智慧。 （惡搞文結束）
如果讀者們曉得上面惡搞文中的這串十六個數字，是從 1/17 的循環小數中所得到的，似乎就無法顯出任何神秘之處了。以 17 作為分母，其循環小數所出現的正是十六位的「0588235294117647」。此外，如果還想要更長的一組數字，或許可以考慮以 19 為分母的十八個循環小數︰「052631578947368421」。 此外，以 13 為分母的循環小數，卻無法出現從頭到尾的相同循環。它的循環數有兩組︰「076923」和「153846」。也就是說，「1/13」、「3/13」、「4/13」、「9/13」、「10/13」是一組改變次序的數字變化；而「2/13」、「5/13」、「6/13」、「7/13」、「8/13」、「11/13」、「12/13」則屬於另一組。或許 TG 可以向外推測，只有循環的數字有「原分母減一」的分數，才會出現這種從頭到尾都是同一組循環小數的情況出現。
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【後記】
由於 TG 對於數學上嚴格的專業術語並不是十分熟悉，所以如果有使用上不夠精確的描述，請網友來信告知。 TG 非常確信，以上這種拿循環小數與分數來作「頭腦體操」的話題，一定早有人作過了，所以 TG 本文只不過是「野人獻曝」罷了。然而似乎拿著「埃及古文明」的招牌，然後刻意忽略它的等價運算——分數四則運算——好像看起來還蠻「神秘」的。 不過再更深一層來講，純就數學上的許多現象，完全不需要靠外星人或古文明的介入，這裡頭原本就有太多的「神秘」了。比如像上面的【主題四】的配置，如果不是從結果逆推，似乎還難以從循環小數的正向推導得出兩組循環數列的錯位相加結果——若說這是「宇宙的密碼」，TG 並不反對，只不過我們必須將觀念放在「數學上可以解析的密碼」。 （發表於2010.1.15.） --------------------------------------------------------------------------------
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